2.2最大铺展因子βmax

2.2.1毛细力主导区

如表1所示，不同学者给出的毛细力区（P<1）βmax模型存在差异，但都认为与We密切相关，而与Re无关。Fedorchenko等通过理论推导、Eggers等利用数值模拟，认为βmax∝We0.5,但Eggers是在假设壁面完全疏水（θe=180°）的前提下得出该结论。Bartolo等、Antonini等、Clanet等通过实验研究，得出βmax∝We0.25;Clanet等和Bartolo等认为无论壁面润湿性如何，该规律均适用，但Antonini等则认为当We<200时，壁面疏水性会导致βmax偏离该规律。

本文在毛细力区研究的流体包括水、60%质量分数甘油溶液、PDMS10硅油和镓基合金，βmax随We变化的情况如图7所示。对不同润湿性壁面的模拟结果进行拟合，如图7中虚线所示：当θe=90°时，βmax∝We0.26（R²=0.921）；当θe=180°时，βmax∝We0.40（R²=0.990）；当θe=150°时，βmax∝We0.29（R²=0.918），介于前两者之间。因为真实表面无法绝对疏水，所以Clanet等实验研究结果βmax∝We0.25更接近本文θe=90°的模拟结果，而Eggers等针对完全疏水表面提出的βmax∝We0.5更适用于θe=180°的情况。

虽然图7中的4种流体物性差异较大，但模拟结果整体分布在以We为变量的幂函数曲线附近，说明在毛细力区，We是βmax的主要控制因素。从图7中3条拟合曲线的指数变化可以看出，随着壁面疏水性增强，黏性力对液滴铺展的阻碍作用减弱，液滴的βmax随之增大，导致θe=180°时βmax∝Web规律的指数b最大。

2.2.2黏性力主导区

如表1所示，文指出在黏性力主导区（P>1）存在规律βmax∝Re0.2.本文在黏性力区的研究采用3种质量分数的甘油溶液、3种型号的PDMS甘油，黏度变化范围为10——970 mPa·s,跨越近3个数量级。其中，黏度极高的PDMS1000硅油在低速碰撞壁面时有Re=1.

βmax随Re变化情况如图8所示，图中虚线为碰撞不同润湿性壁面的拟合结果：当θe=90°时，βmax∝0.93Re0.19（R²=0.980）；当θe=150°时，βmax∝Re0.27（R²=0.953）。可以看出，θe=90°的数据整体落在了θe=150°数据的上方，但随着Re增大，二者的差异逐渐减小。由此可见在黏性力区，液滴碰撞亲水壁面的βmax更大；但随着Re增加，黏性力影响减弱，与黏性力相关联的壁面润湿性影响随之减弱，此时疏水壁面上βmax迅速增加，导致βmax∝Reb规律的指数b更大。

图8βmax随Re变化

当Re趋近于1时，数据点明显偏离拟合曲线，这是因为高黏度液滴低速度碰撞壁面时，入射动能很快通过黏性力耗散殆尽，液滴铺展基本不受惯性力影响，近似于自然铺展，导致βmax与Re关联性减弱。

2.3液滴中心厚度h*随时间变化

图9给出了表2中4种流体在θe为150°的壁面上的h——τ曲线。当τ<0.1时，无论We、Re如何变化，均有规律h=1-τ,说明该阶段h受惯性力主导。当We较大时，液滴的高入射速度和低表面张力使h出现平台期。对于水和镓基合金，当We<10时，h*随时间变化具有明显波动性，这说明在低速入射的情况下，高表面张力会导致液滴厚度产生振荡，这与Wang等在水滴碰撞实验中观测到的现象一致。

如表1所示，文认为hmin仅与Re相关。从图9中甘油溶液和PDMS硅油的曲线可以看出，二者Re相近，hmin几乎相同，与已有结论一致；但对于We相近、Re相差较大的水和镓基合金，二者也有相似的hmin.因此，hmin是否仅与Re相关，需要进一步探讨。

2.4最小中心厚度hmin*

如表所示，Roisman等和Fedorchenko等通过理论推导，Eggers等通过数值模拟，发现当Re较大时有hmin∝Re-0.4,Lagubeau等通过实验测量支持了该结论。当Re<1000时，Du等和Eggers等通过模拟研究，认为此时可以忽略双曲流影响，有hmin∝Re-0.5.也有研究认为当We较小时，表面张力显著影响液滴厚度。

由于h达到hmin时，液滴的中心比边缘要薄，因此很难通过拍摄手段获得准确数据，并且已有结论主要基于水和甘油溶液，体系覆盖范围有限。因此，本文对表2中9组流体进行碰撞模拟，得到hmin*随Re变化的情况如图10所示（水和镓基合金低速碰撞θe为90°的壁面时，液滴中心剧烈振荡无稳定模拟结果，故剔除这部分数据）。

本文所研究的碰撞体系大部分满足Re<1000,因此与文中规律hmin∝Re-0.5比较。对We≥10、Re<1000的数据拟合得到hmin=1.20Re-0.50（R²=0.955）。可以看出空心数据点大多落在该拟合曲线上，本文模拟结果与文的结论一致。从2种形状的空心数据点在拟合曲线上基本重合可以看出，壁面润湿性对We≥10液滴的hmin*——Re关系无显著影响。

We<10的实心数据点整体分布在拟合曲线上方，且不同θe对应的hmin相差较大。当We=1时，液滴碰撞θe为150°的壁面的hmin比拟合曲线hmin=1.20Re-0.50高出197.53%.这一现象证实了Zhu等的研究结论：We较小时，表面张力和壁面润湿性对hmin产生明显影响。因此本文认为，hmin*主要受Re控制的理论仅适用于We较大的情况。

此外，当Re接近于1时，hmin明显偏离hmin∝Re-0.5规律，其原因与上文所述一致，即高黏度液滴低速碰撞壁面时，液滴更多的表现出自然铺展特性。

图10 hmin*随Re变化

3结论

本文利用相场法，数值模拟了9组流体碰撞不同润湿性壁面的过程，拓展了液滴碰撞模拟研究的流体物性范围，主要结论如下：

1）在碰撞初期（τ<0.1），发现文提出的规律β∝τ0.5主要适用于Re>100的液滴碰撞，这是因为低Re液滴的黏性力较强，惯性力不再处于主导地位；h的模拟结果符合已有结论h=1-τ,说明在碰撞初期，h*主要受惯性力影响。

2）在毛细力区，本文模拟结果显示βmax∝Web,符合前人研究结论；随着壁面疏水性增强，指数b逐渐增大，说明当毛细力主导铺展时，壁面越疏水，黏性力对铺展的阻碍作用越小，βmax越大。在黏性力区，数值结果满足规律βmax∝Reb,与已有理论相符；当液滴Re较小时，亲水壁面上的βmax更大，但随着Re增大，惯性力增强，壁面润湿性的影响随之减弱，疏水壁面上的βmax迅速增加，导致βmax∝Reb规律的指数b较大。

3）当We≥10、Re<1000时，hmin模拟结果与文提出的规律hmin∝Re-0.5相符，但We<10时会偏离该规律，壁面润湿性和表面张力对hmin产生明显影响。其机理在于低We液滴的毛细力较强，高表面张力和壁面疏水性减弱了液滴的铺展能力，所以不能再仅依据Re去预测hmin.

4）对于以往鲜有研究的高黏度PDMS1000硅油和超高表面张力的镓基合金，尽管这2种流体物性较为特殊，但其碰撞过程仍主要受Re和We影响。但当PDMS1000硅油以低速碰撞壁面时，Re接近于1,此时液滴的入射动能很快通过黏性力耗散殆尽，惯性力作用可忽略不计，液滴在壁面上近似于自发铺展，导致βmax和hmin*主要由液滴初始动能和壁面润湿性决定，偏离结论2和3中与We、Re之间的幂函数关系。