2.2 基于U断前的表面张力系数修正

实验发现，采用断裂点计算的表面张力系数α2，随着吊环周长的减小而不断减小。对于126.1 mm周长的吊环，得到α2=76.7×10-3 N/m，对于57.4 mm周长的吊环，α2=53.3×10-3 N/m，表面张力系数减小了约1/3。表面张力系数的测量值是否与吊环尺寸有关？笔者因此对实验测量进行更为系统的研究。

经过对比标准环（d̄=34.03 mm）与自制环（d̄=40.1 mm）拉出的水膜在断裂处的圆周直径相较于吊环直径明显变小。经过测量，标准环对应的水膜断裂处直径为33.1 mm。同样对于自制环水膜断裂处的直径也都减小。如表2所示，对于直径为33.4 mm和18.1 mm的吊环，水膜最细处直径是对应吊环直径的93%和79%。可以看出，随着自制环直径的减小，水膜断裂时的直径减小程度逐渐增大。

表２ 环直径与水膜断裂处直径的比较以及修正后的表面张力系数

图5给出了水膜直径变小示意图。吊环拉出的水膜，其内表面、外表面都是双曲面，但不对称。一般而言，外表面的曲率半径较小，而内表面的曲率半径较大，2个曲面顶点处的位置（图5中M和N所示）将偏离吊环内、外径的平均值d̄=(d1+d2)/2，如图5中的竖直虚线所示。所以水膜断裂处的直径d断，将小于吊环的d̄，即d断 < d̄。由表2数据可以看出，随着吊环直径的减小，对应水膜的内、外曲面的不对称程度增加，断裂处水膜直径的收缩程度（"颈缩"）增大，所以2个直径的比值d断/d̄变小。

根据上述分析，水膜在断裂处的直径明显小于吊环直径，所以将断裂处水膜的直径d断代入式(5)才合理，修正后的表面张力系数α2′将大于修正前的α2。如标准环，表面张力系数由α2=72.0×10-3 N/m增加到α2′=73.9×10-3 N/m。对于标准环，断裂点水膜直径收缩很小，即d断/d̄=0.97，所以其α2及α2′误差变化都很小。但对于自制吊环，修正后的α2′误差有的变大，有的减小。可见，仅仅考虑断裂处水膜直径的变小修正α是不全面的，误差还有其他来源。

因为水膜断裂的瞬间很难确定，图1(d)表示水膜断裂瞬间的形状，此时的拉力由图3中的U断前表示。但在实际操作中，两者不能对应。水膜断裂是电压陡降的过程，非常迅速，电压表无法显示。所以实际记录的U断前对应图1(c)的水膜形状，此时拉力F明显大于U断前。因此，由式(5)可知，采用水膜断裂"瞬间值"计算的表面张力系数比实际断裂点（理论值）大。对于105.5 mm的吊环，其α2′=77.5×10-3 N/m，比理论值大6.6%。

另一方面，对于尺寸较小的吊环，如图6所示，水膜的内表面将连接在一起，只有外表面的表面张力起作用，但在计算公式中，仍以2πd̄代入式(5)中，所以表面张力系数的计算值偏小。标准环的尺寸适中，环壁很薄，所以图1(c)与图1(d)水膜形状近似相同，实际测量的F等于U断前，因此计算得到的α2误差很小。可见，选用水膜断裂点计算的表面张力系数的影响因素很多，实际断裂点的瞬间位置、吊环尺寸、吊环厚薄等都是需要考虑的因素。

2.3 基于Umax表面张力系数的修正

表３ 考虑水膜重力用最大电压处修正后的表面张力系数

相比较水膜断裂点，在电压最大值处，考虑水膜重力情况下，进行表面张力系数的计算，其误差要小很多。表3为最大电压处[图1(b)]计算得到的水膜重力和修正后的表面张力系数。根据上面理论分析和实验验证，得知采用电压最大值计算的表面张力系数比理论值大(m膜 - m1′)g。水膜的高度由图4给出，从而可以计算出每个吊环下面拉出的水膜重力。断裂后残留水膜的质量(m1′)直接用天平称量。如标准环，h为3.0 mm，d̄=34.03 mm，水膜厚度（环壁厚度）约为1.0 mm，则水膜质量为m膜=0.32 g；而残留水膜质量为m1′=0.02 g，所以换算成力敏传感器的电压值为ΔU膜=(m膜 - m1′)gK=0.016 V。对于标准环，拉出的水膜占比为ΔU膜/(Umax - U断后)=0.0158，最后得到α1′=α1·(1-0.0158)=73.5×10-3 N/m，其相对偏差仅为0.6%。也可采用

α = (Umax - ΔU膜 - U断后) / (2Kπd̄) (6)

计算，由表3可以看出，除了最小吊环，相对误差仍为-4.5%外，其他自制吊环测量的表面张力系数的相对误差都小于4.0%。

采用隔离法，对电压最大值处的水膜进行受力分析。图7中虚线将水膜分成2部分，吊环正下方的水膜由于水分子相互吸引力附加在拉力Fmax中，而另一部分水膜的重力m′g，与2fA以及水膜与液面处的表面张力2fCcosβ，三者形成平衡状态，即受力分析与水膜断裂时[图1(d)]m2的受力相似。所以计算水膜的重力仅仅需要考虑吊环正下方的重力即可。另外，电压最大值处的水膜稳定性最好，拉升高度h容易测量。对于尺寸较小的吊环（πd̄=78.2 mm），电压最大值处，水膜的内表面没有连接在一起，仍然与液体表面接触良好，所以测量的误差也较小（Eα1=3.9%）。但是对于特别小的吊环（πd̄=57.4 mm），水膜的内表面连接在一起，其表面张力系数明显偏小。

3 结束语

本文讨论了表面张力系数测定中的液膜断裂点问题。通过完整的液膜拉升过程的受力分析和实验验证，找到误差来源。对电压最大值点，必须考虑液膜自身重力，由此得到的表面张力系数修正值与理论值的误差较小。对于液膜断裂的瞬间值，则必须考虑液膜断裂处的直径收缩，从而对表面张力系数也要进行修正。虽然此时液膜受力的物理图像清晰，但是由于实际操作中，断裂点的电压读数非常困难，所得结果误差较大。